ERC Starting Grant TOSSIBERG
Theory of Stein Spaces in Berkovich
Geometry
Juillet 2015 - Juin 2020
Le projet bénéficie d'un financement au titre du Conseil Européen de la
Recherche (ERC) dans le cadre du programme-cadre de l'Union européenne
pour la recherche et l'innovation « Horizon 2020 » sous le numéro de
subvention 637027.
Espaces de Stein complexes
On peut penser aux espaces de Stein complexes comme à des analogues des
schémas affines de la géométrie algébrique. On peut les caractériser de
différentes façons : en utilisant des conditions de convergence de
fonctions holomorphes, des propriétés topologiques, de théorie du
potentiel, etc. Leur cohomologie cohérente s'annule, ce qui se
révèle essentiel pour les applications. En dépit de l'importance
cruciale de cette théorie en géométrie analytique complexe, son
analogue p-adique n'a été
qu'à peine esquissé.
Espaces de Stein p-adiques
Dans la cadre de la géométrie analytique p-adique au sens de Berkovich, de
récents développement ont permis d'aboutir à une compréhension fine de
la topologie des espaces (cf.
travaux de Berkovich et Hrushovski-Loeser) et de définir les bases de
la théorie du potentiel (cf. travaux
de Baker-Rumely, Thuillier, Boucksom-Favre-Jonsson,
Chambert-Loir-Ducros et Gubler-Künnemann). Les conditions nécessaires
au développement systématique d'une théorie p-adique des espaces de Stein sont
donc maintenant réunies ; c'est mon premier objectif. La théorie sera
ensuite utilisée pour définir et étudier les enveloppes d'homolorphie
et de méromorphie. En guise d'application, j'envisage de démontrer des
critères de rationalité pour les séries sur les corps de fonctions.
Espaces de Stein sur les anneaux
d'entiers de corps de nombres
La seconde partie du projet est consacrée à la théorie des espaces de
Stein pour les espaces de Berkovich sur les anneaux d'entiers de corps
de nombres, où les différentes places apparaissent sur un pied
d'égalité. L'étude de ces derniers espaces n'en est qu'à ses
balbutiements et seule une petite partie des outils analytiques usuels
sont disponibles dans ce contexte. Mon objectif principal consistera à
démontrer le résultat de base assurant que les polydisques sont des
espaces de Stein, au sens cohomologique. Cela permettra de débuter une
étude approfondie des anneaux de séries convergentes arithmétiques,
c'est-à-dire à coefficients entiers, et de dévoiler leurs propriétés
non seulement du point de vue de l'algèbre commutative, mais aussi en
lien avec le problème inverse de Galois. Savoir que la cohomologie
cohérente des polydisques s'annule constitue également la première
étape permettant le calcul des groupes de cohomologie globaux des
espaces analytiques projectifs sur les anneaux d'entiers de corps de
nombres.
